FRASE DEL DÍA

 

viernes, 15 de enero de 2010

NÚMEROS PRIMOS Y PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Supongamos que escribimos una sucesión de números (al menos, los primeros términos):
{1, 2, 3, 4, 5, ..., 10, 11, 12, ... }
{1, 3, 5, 7, 9, ..., 23, 25, 27, ... }
{2, 4, 6, 8, 10, ..., 124, 126, 128, ... }
{7, 10, 13, 16, 19, ..., 43, 46, 49, ... }
{7, 17, 27, 37, 47, ..., 107, 117, 127, ... }
{5, 16, 27, 38, 49, ..., 126, 137, 148, ... }
Todas estas sucesiones tienen algo en común, algo que las define. Todas se forman de la misma forma: “A partir de un primer término, los restantes se obtienen sumando una cantidad fija al anterior. Esta cantidad se le llama diferencia”.
Así en la cuarta sucesión, el primer término es 7 y la diferencia es 3.
A las sucesiones que cumplen esto se les llama progresiones aritméticas.
Dicho esto, vamos a analizar un problema que tuvo (y aún tiene) ocupados a los especialistas en Teoría de Números durante muchísimos años (y los que les quedan).
Observa la siguiente sucesión
{5, 17, 29, 31, 43}
Esta sucesión, a diferencia de las anteriores, termina. Tiene sólo cinco términos. Sin embargo, podemos decir que el primero es 5 y la diferencia es 12. La serie termina ahí porque tiene otra particularidad ¡Todos los números son primos! El próximo número que deberíamos poner es 55 que no es primo (55=11·5). Por tanto, si queremos que la sucesión esté formada sólo por números primos, tiene que terminar ahí.
Busquemos otra:
{199, 409, 619, 829, 1.039, 1.249, 1.459, 1.669, 1.879, 2.089}
Ésta es una sucesión de 10 diez términos, que tiene como primer término 199, y como diferencia 210. Como antes, todos los números que figuran en la sucesión son números primos. Sólo tiene diez términos porque el siguiente sería 2.299 que ¡no es primo! (2.299=209·11).
Como podemos imaginar uno está a la búsqueda de sucesiones en progresión aritmética de manera que todos los términos sean números primos. Uno de los objetivos de investigadores de todo el mundo ha sido encontrar sucesiones de este tipo y lo más largas posibles.
En noviembre de 2006, se encontraron dos sucesiones de 22 términos (las más largas hasta entonces).
La primera, es la que empieza con el número:
11.410.337.850.553
y la diferencia es:
4.609.098.694.200
La segunda, tiene como primer término a
376.859.931.192.959
y la diferencia es:
18.549.279.769.020
En enero de 2007 se encontró la sucesión de números primos más extensa que se conoce hasta la fecha. Tiene 24 términos que comienzan con el
468.395.662.504.823
y la diferencia es
45.872.132.836.530
La pregunta que tuvo ocupados a los especialistas en el tema durante muchos años fue si existen sucesiones de primos en progresión aritmética de cualquier longitud. Hasta 2004 la pregunta no tenía respuesta, y deberíamos decir que aún hoy no la tiene, aunque dos matemáticos Green y Tao publicaron en el 2004 una demostración que afirma que sí existen progresiones aritméticas de cualquier longitud (todavía no tiene la calificación de los tribunales que la evalúan).

Del libro: "MATEMÁTICA... ¿ESTÁS AHÍ? (Adrián Paenza)

1 comentario:

Anónimo dijo...

Estoy por demostrar la Hipótesis de Riemann gracias a este hallazgo

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